Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una secuencia de números de tal manera que la diferencia de cualquiera de los dos miembros sucesivos es una constante.

Una secuencia de números se llama progresión aritmética si la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. En términos simples, significa que el siguiente número de la serie se calcula agregando un número fijo al número anterior de la serie. Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 10 es un progresión aritmética porque la diferencia entre dos términos consecutivos en la serie (diferencia común) es la misma (4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2).

Hecho sobre la progresión aritmética:

Término inicial:en una progresión aritmética, el primer número de la serie se llama término inicial.
Diferencia común:el valor por el cual los términos consecutivos aumentan o disminuyen se denomina diferencia común.
El comportamiento de la progresión aritmética depende de la diferencia común d. Si la diferencia común es: positiva, entonces los miembros (términos) crecerán hacia el infinito positivo o negativo, entonces los miembros (términos) crecerán hacia el infinito negativo.

Fórmula del ^enésimo término de un AP:

Si ‘a’ es el término inicial y ‘d’ es la diferencia común, la fórmula explícita es la fórmula de la suma del ^enésimo término de AP:

Ejemplo, la secuencia 1, 2, 3, 4,… es una progresión aritmética con diferencia común 1.

Ejemplo: la secuencia 3,5,7,9,11,…es una progresión aritmética con diferencia común 2.

Ejemplo La secuencia 20,10,0,-10,-20,-30,…es una progresión aritmética con diferencia común -10.

Notación

Denotamos por d la diferencia común.

Por un_n denotamos la N término-ésima de una progresión aritmética.

Por S _n denotamos la suma de los primeros n elementos de una serie aritmética.
Serie aritmética significa la suma de los elementos de una progresión aritmética.

Propiedades

a ₁ + a _n = a ₂ + a _n-1 = … = a _k + a _{n-k + 1}

a _n = ½ (a _n-1 + a _{n + 1} )

Muestra: que 1, 11, 21, 31, 41, 51… sea una progresión aritmética.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21

y
11 = (21 + 1) / 2

21 = (31 + 11) / 2

Si el término inicial de una progresión aritmética es un ₁ y la diferencia común de los miembros sucesivos es d, entonces el n- ésimo término de la secuencia está dada por

a_n = a ₁ + (n – 1) d, n = 1, 2, …

La suma S de los primeros n números de una progresión aritmética está dada por la fórmula:

S = ½ (a ₁ + a _n )*n donde a ₁ es el primer término y a _n el último.

S = ½ (2a ₁ + d (n-1))* n

Problemas de progresión aritmética

1 ¿Es la fila 1,11,21,31 una progresión aritmética?

Solución: Sí, es una progresión aritmética. Su primer término es 1 y la diferencia común es 10.

2 Busca la suma de los primeros 10 números de esta serie aritmética: 1, 11, 21, 31…

Solución: podemos usar esta fórmula S = ¹/₂(2a₁+d (n-1)) n

S = ¹/₂ *(2*1 + 10 (10-1)) 10 = 5 (2 + 90) = 5*92 = 460

Progresión geométrica

Una secuencia geométrica es una secuencia tal que cualquier elemento después del primero se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante llamada razón común que se denota por r. La razón común (r) se obtiene dividiendo cualquier término por el término anterior, es decir,

r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = a_n / a_(n-1)

Dónde	R	razón común
	un ₁	Primer periodo
	un ₂	segundo período
	un ₃	tercer término
	un _n-1	el término antes de que el n º plazo
	un _n	el n º plazo

La secuencia geométrica a veces se llama progresión geométrica o GP, para abreviar.

Por ejemplo, la secuencia 1, 3, 9, 27, 81 es una secuencia geométrica. Tenga en cuenta que después del primer término, el siguiente término se obtiene multiplicando el elemento anterior por 3.

La secuencia geométrica tiene su formación de secuencia: a₁, a₁*r, a₁*r², a₁*r^n-1

Para encontrar el enésimo término de una secuencia geométrica, usamos la fórmula:

a_n = a₁*r^n-1

dónde	R	razón común
	un ₁	Primer periodo
	un _n-1	el término antes de que el n º plazo
	Norte	cantidad de términos

Suma de términos en una progresión geométrica

Encontrar la suma de términos en una progresión geométrica se obtiene fácilmente aplicando las fórmulas:

Enésima suma parcial de una secuencia geométrica

S_n = a₁*(rⁿ -1)/(r-1)

r es diferente de 1

Ejemplos de problemas

Escribe un término específico en una progresión geométrica

Pregunta

Escriba el octavo término en la progresión geométrica 1, 3, 9, …

Responder

a₁ = 1

a₂ = 3

a₃ = 9

n=8

r = a₂/a₁ = 3/1 = 3

a₈ = a₁*r^8-1

= (1)(3)⁷

a₈ = 2187

Pregunta

Encuentre el número de términos en la progresión geométrica 6, 12, 24, …, para que la suma de 1536

S_n = a₁*(rⁿ -1)/(r-1)

42 = 6*(2^n-1-1)/2-1

n = 3